湘教版高中数学选修3-4对称和群:三次方程的解法

发布时间:2021-10-27 09:00:22

三次方程的解法 三次方程长什么样, 应该怎么求解呢? 一般三次方程有形如 x3+ax2+bx+c=0, 其中a,b,c是任意数,经过变换x ? y ? ? a , ? 上述方程变为 y3+py+q=0, ① 其中, a2 p ?b? 3 ,q ? 2a3 27 ? ab 3 ? c 。 这样,我们只须解形如①式的方程即可。 y3+py+q=0(方程 ①)怎么解呢? 设方程①的三个根为y1,y2和y3。 由韦达定理有 y1+y2+y3=0, y1y2+y2y3+y1y3=p, y1y2y3=-q, 于是p,-q是三个根的初等对称多项式。 根据我们学过的对二次方程的分析,如果我 们能找到y1,y2,y3另外两个一次式,它们的某次 方幂是根的对称多项式即可。 取两个一次式为 ? ? y ?? 1 y ?? 2 2y 3 , 和 ? ? y ?? 1 2y ?? 2 y 3 , 其中ζ是三次本原单位根,即满足ζ3=1的不 为1的复数。由复数代数我们知道 ? ? cos120? ? i sin120? ? ? 1 ? 3 i 22 是一个三次本原单位根。 在解二次方程的时候,我们找到的 另一个一次式是x1-x2,其中的系数-1 就是二次本原单位根。 经过计算我们得到 ? ? ? y y y 3 3 3 3 ? ? ? ? 3? y2y ? y2y ? y2y ? 1 2 3 12 23 31 ? ? ? 2 3 y y2? y y2? y y2 ? 6y y y , 12 23 31 123 ? ? ? ? y y y 3 3 3 3 2 ? ? ? ?3 y2y ? y2y ? y2y ? 1 2 3 12 23 31 ? ? 3? y y2 ? y y2 ? y y2 ? 6 y y y , 12 23 31 123 但仔细观察,β3和γ3并不是根的对称多项式, 可是很接*对称多项式。 在作根的某些置换时,譬如对调y1,y2,β3和 γ3都不变到自身,但它们两式互变。这提示我们, β3+γ3和β3γ3是根的对称多项式。事实上,经过计 算我们有 β3+γ3=-27q,β3γ3=-27p3。 β3+γ3=-27q,β3γ3=-27p3。 由此二式可以解出 ? ? ? p q 3 ? ?27q / 2 ? 3 3 / 2 4 3 ? 27 2, ? ? ? p q 3 ? ?27q / 2 ? 3 3 / 2 4 3 ? 27 2。 用方程系数的和差积商和开方表示出来了。 于是就有 ? ? p q ? ? 3 ?27q / 2 ? 3 3 / 2 4 3 ? 27 2, ? ? p q ? ? 3 ?27q / 2 ? 3 3 / 2 4 3 ? 27 2。 我们得到y3+py+q=0的三个根y1,y2,y3的 三元一次联立方程组 ? y ? y ? y ? 0, ?1 2 3 ? ? y ?? 1 y ?? 2 2y ? 3 ?, ? ? ? y1 ?? 2y ?? 2 y 3 ? ?。 解这个方程组,就得到了三次方程的三个根。 具体计算留做*题。 四次方程也有求根公式,它的根也可以用系 数的和差积商和开方表示出来,但由于比较复杂, 不在这里介绍了。 谢谢

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